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数学北师大版
九年级
3.4圆周角和圆心角的关系第1课时
在射门游戏中，球员射中球门的难易与它所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关.
思考：图中的∠ABC的顶点各在圆的什么位置？
∠ABC的两边和圆是什么关系？
A
B
C
D
E
在圆上
相交，除顶点还有另外交点
·
A
B
甲（O）
乙（C）
丙（D）
丁（E）
玻璃
它的顶点在圆上，它的两边分别与圆另有一个交点.像这样的角，叫做圆周角.
观察图中的∠AEB ，∠ACB,∠ADB
图中∠AEB ，∠ACB,∠ADB所对的弧都是AB,量一量角的度数各是多少？它们之间有什么关系？
连接OA,OB,再量出∠AOB的大小，与刚才量出的圆周角的
大小又有什么关系？
圆周角定理
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
同一条弧所对的圆周角等于它所对的
圆心角的一半
即∠ABC的一边BC过圆心O.
∵ ∠AOC 是△ABO的外角，
∴ ∠AOC ＝ ∠ABO＋∠BAO.
∵OA＝OB
∴ ∠ABO ＝ ∠BAO
∴ ∠AOC ＝2 ∠ABO
O
A
C
B
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
证明①.首先考虑一种特殊情况：
证明：②当圆心（O）在圆周角（∠ABC）的内部时，圆周角
∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样？
提示:能否转化为①的情况？
过点B作直径BD.由①可得:
●O
A
B
C
D
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
证明：③当圆心（O）在圆周角（∠ABC）的外部时，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样？
提示:能否也转化为①的情况？
过点B作直径BD.由①可得:
●O
A
B
C
D
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
在同圆或等圆中，相等的弧（或同弧）
①所对的圆心角相等.
②所对的圆周角也相等并等于所对弧的圆心角的一半
在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等.
判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由
不是
不是
是
不是
不是
（
不是
·
·
·
·
100°
A
O
20°
O
90°
A
B
A
B
B
C
O
B
A
C
C
（1）
（2）
（3）
（4）
AB为直径，求∠ACB
求∠AOB
求∠AOB
求∠A
做一做
180°
40°
90°
50°
例：如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径
∠AOB＝2∠BOC.求证：∠ACB＝2∠BAC.
证明：
∠ACB＝ ∠AOB
∠BAC＝ ∠BOC
∠AOB＝2∠BOC
∠ACB＝2∠BAC
规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，
要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角，然后
再灵活运用圆周角定理.
●
B
C
A
O
E
F
G
按从小到大的顺序
写出右图中BC弧所对的角∠A，∠E,∠O,∠F,∠G
< < < <
∠A
∠F
∠O
∠E
∠G
∠DAB=∠AED， ∠EAC= ∠ADE，
●O
D
A
B
C
N
M
E
例2.如图，⊙O中,D，E分别是 的中点, DE分别交AB和AC于点M，N；求证:△AMN是等腰三角形.
∵ D,E分别是 的中点,
∴
证明：如图，连接AD，AE.
∴△AMN为等腰三角形.
∴ ∠AMN=∠ANM，∴AM=AN.
二式相加
本课小结
在同圆或等圆中，相等的弧（或同弧）
①所对的圆心角相等.
②所对的圆周角也相等并等于所对弧的圆心角的一半
在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等.
课后作业
1.如图，AE是⊙O的直径, △ABC的顶点都在⊙O上,AD是△ABC的高.
求证：AB·AC=AE·AD.
A
O
B
C
D
E
证明：连接EC.因为∠ADB=∠ACE=90°，
∠AEC=∠ABD,
故△ACE∽ △ADB,
所以
即AB·AC=AE·AD.
(2)连接DO、CO，∵∠ABC＝60°，∴∠AOC＝120°，
又∵AD＝DC，∴∠AOD＝∠DOC＝60°， ∴△AOD为等边三角形，∴AD＝AO＝2.
(1)证明：∵∠1＝∠BCD，∠D＝∠1，
∴∠D＝∠BCD，∴CB∥PD；　
谢谢
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