概述内容

「开普勒第三定律」是德国天文学家约翰尼斯·开普勒提出的行星运动三定律之一。文字表述为：绕太阳做椭圆轨道运动的各行星，轨道半长轴的立方和公转周期的平方成正比，比值叫作开普勒常数。开普勒借助他的同事第谷·布拉赫观测到的数据，总结出了行星运动三定律。其中第三定律是开普勒于 1618 年在其专著《世界的和谐》中首次提出的，也叫「和谐定律」，是三定律中最晚提出的一个。开普勒三定律分别叫做轨道定律、等面积定律和周期定律，第三定律即周期定律。该定律为后来英国物理学家艾萨克·牛顿提出万有引力定律建立了非常重要的实验观测基础。

发现背景

开普勒于 1600 年成为了天文学家第谷的助手，在位于布拉格的天文台工作。翌年，第谷去世，开普勒接替他成为圣罗马帝国的皇家数学家。同时，开普勒也接手了第谷留下的他多年的天文观测数据。第谷精确的天文观测数据被开普勒这个数学天才归纳成了三条简单的定律，即开普勒三定律。前两条定律由开普勒在 1609 年发表的《新天文学》中提出，近十年后，他在 1618 年发表的《世界的和谐》中提出了第三定律。[1]

开普勒第一定律表述为：行星绕太阳运动的轨迹是接近圆的闭合椭圆轨道，太阳在该椭圆的一个焦点上。

第二定律表述为：行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积恒定。

第三定律表述为：绕太阳做椭圆轨道运动的各行星，轨道半长轴的立方和公转周期的平方成正比。

行星运动三定律虽然由开普勒总结提出，但同样离不开第谷精确的观测数据，准确无误的实验观测才是得到正确规律的基础。

数学表达

绕太阳运动的行星椭圆轨道半长轴为 a ，公转周期为 T ，则对各行星有

其中 K 是常数，叫做开普勒常数，与太阳的质量有关。

万有引力定律的基础

开普勒第三定律是实验定律，它描述的是太阳和行星之间相对运动的规律。从这一规律出发可以找到蕴含在其背后的太阳与行星相互作用的规律，即万有引力定律。

行星绕太阳做圆周运动时，向心力

其中 m 为行星质量， r 为其运动半径， T 为运动周期。圆轨道是特殊的椭圆轨道，也满足开普勒第三定律，所以上式为

这一向心力是由万有引力提供的，所以万有引力也符合上式，即正比于质量，反比于距离的平方。

再由牛顿第三定律可知，万有引力还应正比于另一物体的质量 m' ，比例系数设为 G ，这就是牛顿万有引力定律的表达式。

现在可以看出开普勒第三定律是得到万有引力定律的过程中很重要的一步。而牛顿在其中的工作则是得到了向心力公式，以及把地球表面附近的重力和太阳恒星之间的引力联系起来。

定律的证明

同样的，开普勒第三定律作为行星的运动规律，是它与太阳之间万有引力作用的结果，也应该可以从万有引力定律得出。但是和 3 不同的是，人们必须得到开普勒第三定律的普遍情况，即椭圆轨道，而不能仅讨论圆轨道的情况了。

由开普勒第二定律，太阳行星连线单位时间扫过的面积恒定。所以行星运动周期

其中 S 为轨道椭圆面积， a 、 b 分别为半长轴、半短轴， r 、 v 、 L 分别为以太阳为参考点行星的位矢、速度、角动量。因为 L 与 T 或 a 有关，所以下面通过近、远日点的角动量、能量守恒，得到含 L 的能量守恒式，解得 L 和 a 或 T 的关系。

由万有引力公式可得引力势

近日点 r=a-c ， c 为椭圆焦距。势能为

动能

其中 v 的方向垂直于 r ，所以可写为

机械能为动能、势能之和

同理写出远日点的机械能。由机械能守恒

解得

其中用到了椭圆的性质

将 L 的表达式代入周期公式得

等号右边只与太阳质量有关，即开普勒常数，证明了开普勒第三定律。

适用范围

开普勒定律的原始表述都是描述的太阳系行星的运动，这是因为当时开普勒已知的实验数据主要是这些行星的。但知道了万有引力定律之后，人们明白这三条定律是普适的，它与太阳本身的性质无关，同样适用于其他恒星系。只不过第三定律中的比例系数——开普勒常数中的质量需要修改为相应的恒星质量。

开普勒定律是二体问题的结果，也就是说忽略其它天体对行星的运动影响。实际上行星附近的其它天体都会对其运动有影响，使其不符合开普勒定律。

另外，开普勒定律并非在所有天体系统中都适用。只有当两个天体的质量相差较多，运动速度较小的时候，质量大的天体才可以近似认为不动，开普勒定律才适用。如果两个天体质量相近，即双星系统，每个行星运动的轨迹都不是椭圆，但分析力学中的约化质量方法可以得到一个抽象的质点运动符合开普勒定律。如果小质量天体运动速度太快，可能会出现抛物线，甚至双曲线轨道，仍然符合牛顿万有引力定律，但不符合开普勒定律。如果速度进一步加快，或者天体的质量、密度非常大，就必须考虑相对论效应，牛顿万有引力定律失效，开普勒定律自然也不适用了。

参考资料

1. Wikipedia ， Kepler's laws of planetary motion ， https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler%27s_laws_of_planetary_motion ， 最后修订于 2018 年 8 月 15 日
2. 赵凯华等，「新概念物理教程. 力学」，高等教育出版社，2004年07月
3. 梁昆淼，「力学. 下册，理论力学」，高等教育出版社，2009年07月