简介

圆锥曲线包括椭圆（圆为椭圆的特例），抛物线，双曲线。

圆锥曲线（二次曲线）的（不完整）统一定义：到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的商是常数e（离心率）的点的轨迹。当e>1时，为双曲线的一支，当e=1时，为抛物线，当0<e<1时，为椭圆，当e=0时，为一点。^[1]

起源

2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。

古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取,可得到双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时,则可得到双曲线）。

阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。

定义

几何观点

用一个平面去截一个二次锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections）。

通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：

1) 当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

2) 当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。

3) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

4) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。

5) 当平面只与二次锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果为一点。

6) 当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。

7) 当平面与二次锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。

注意，上述曲线类中不含有二次曲线：两平行直线。

代数观点

在笛卡尔平面上，二元二次方程

的图像称为二次曲线。根据判别式的不同，包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形。

定理

对于同一个椭圆或双曲线，有两个“焦点－准线”的组合可以得到它。因此，椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线。而抛物线只有一个焦点和一条准线。

圆锥曲线关于过焦点与准线垂直的直线对称，在椭圆和双曲线的情况，该直线通过两个焦点，该直线称为圆锥曲线的焦轴。对于椭圆和双曲线，还关于焦点连线的垂直平分线对称。

Pappus定理：圆锥曲线上一点的焦半径长度等于该点到相应准线的距离乘以离心率。

Pascal定理：圆锥曲线的内接六边形，若对边两两不平行，则该六边形对边延长线的交点共线。（对于退化的情形也适用）

Brianchon定理：圆锥曲线的外切六边形，其三条对角线共点。

中点弦问题

已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程：

1、联立方程法。

用点斜式设出该弦的方程（斜率不存在的情况需要另外考虑），与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，再由中点坐标公式和两根之和的具体数值，求出该弦的方程。

2、点差法（代点相减法）

设出弦的两端点坐标（x₁，y₁）和（x₂，y₂)，代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减，运用平方差公式得[(x₁+x₂)(x₁-x₂)]/a²+[(y₁+y₂)(y₁-y₂)/b²]=0

由斜率为（y₁-y₂)/(x₁-x₂），可以得到斜率的取值（使用时注意判别式的问题）^[2]

统一方程

平面直角坐标系内的任意圆锥曲线可用如下方程表示：

其中，α∈[0,2π)，p>0，e≥0。

①e=1时，表示以F(g,h)为焦点，p为焦点到准线距离的抛物线。其中

与极轴夹角α（A为抛物线顶点）。

②0<e<1时，表示以F1(g,h)为一个焦点，p为焦点到准线距离，e为离心率的椭圆。其中

与极轴夹角α。

③e>1时，表示以F2(g,h)为一个焦点，p为焦点到准线距离，e为离心率的双曲线。其中

与极轴夹角α。

④e=0时，表示点F(g,h)。

五点法求平面内圆锥曲线可以采用该统一方程。代入五组有序实数对，求出对应参数。

注：此方程不适用于圆锥曲线的其他退化形式，如圆等。

附：当e≠0时，F(g,h)对应准线方程：

光学性质

椭圆

从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上。

双曲线

从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。

抛物线

从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的对称轴。

一束平行光垂直于抛物线的准线，向抛物线的开口射进来，经抛物线反射后，反射光线汇聚在抛物线的焦点。