如何理解矩阵的复数特征值和特征向量？

13 赞同

1 评论

33 收藏

特征值与若尔当标准型也是矩阵的骨头！对矩阵十分重要！

到底有多重要？这篇文章从矩阵的6种分类共12个章节让你知其所以然，感受它的重要程度有多深！学会它，让特征值大显神威！一题多解，一种方法解决多种问题！

行文较长，也许初见懵懂，再见难懂，多见才会更懂。所以建议大家收藏保存起来慢慢咀嚼。很多事情往往都是越深入思考越有意思。

数学，重要的是我们去“悟”的过程。

我们可以把矩阵看对向量的操作看作是一个线性空间的线性变换操作，那特征值就可以理解为该空间沿属于该特征值的特征向量方向的放缩倍数。下面我们通过若干个小节对矩阵分为若干个类别对特征值的意义进行讨论。本文除了约当标准型直接使用结论以外其他所有内容均有严格推导，并着重解释这些变换的意义。读者有问题或有兴趣欢迎讨论。

同一变换在不同基矢下的关系的推导
同一变换在不同基矢下的关系的举例
同一向量在不同基矢下的关系的推导
同一向量在不同基矢下的关系的举例
复数范围内可对角化矩阵特征值的意义
复数范围内可对角化矩阵特征值的举例
实矩阵可对角化并且存在复特征值的意义
实矩阵可对角化并且存在复特征值的举例
复数范围内不可对角化矩阵特征值的意义
复数范围内不可对角化矩阵的举例
实矩阵不可对角化矩阵特征值的意义
实矩阵存在复根且复根对应的子空间不可对角化的举例

1. 同一变换在不同基矢下的关系的推导

假定维空间线性变换 $\mathcal{A}$ 在的基矢 $\bm{\varepsilon}_{1}, \bm{\varepsilon}_{2}, \cdots, \bm{\varepsilon}_{n}$ 下的线性变换矩阵为 , 即

$\mathcal{A}(\bm{\varepsilon}_{1}, \bm{\varepsilon}_{2}, \cdots, \bm{\varepsilon}_{n}) = (\bm{\varepsilon}_{1}, \bm{\varepsilon}_{2}, \cdots, \bm{\varepsilon}_{n}) A$

如果我们选取新的基矢向量组 $\bm{\varepsilon}'_{1}, \bm{\varepsilon}'_{2}, \cdots, \bm{\varepsilon}'_{n}$ , 与旧基矢向量组的关系为

$(\bm{\varepsilon}'_{1}, \bm{\varepsilon}'_{2}, \cdots, \bm{\varepsilon}'_{n})= (\bm{\varepsilon}_{1}, \bm{\varepsilon}_{2}, \cdots, \bm{\varepsilon}_{n})S$

则

$\mathcal{A}(\bm{\varepsilon}'_{1}, \bm{\varepsilon}'_{2}, \cdots, \bm{\varepsilon}'_{n}) = \mathcal{A}(\bm{\varepsilon}_{1}, \bm{\varepsilon}_{2}, \cdots, \bm{\varepsilon}_{n})S = (\bm{\varepsilon}_{1}, \bm{\varepsilon}_{2}, \cdots, \bm{\varepsilon}_{n})AS = (\bm{\varepsilon}'_{1}, \bm{\varepsilon}'_{2}, \cdots, \bm{\varepsilon}'_{n})S^{-1}AS$

因此在新基下变换 $\mathcal{A}$ 对应的矩阵

$A'=S^{-1}AS$

2. 同一变换在不同基矢下的关系的举例

例如矩阵

$A= \left( \begin{array}{c} 1 & 1\\ 0 & 2 \end{array} \right)$

的两个特征值分别为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2$ , 对应的特征向量 $\bm{\alpha}_{1}, \bm{\alpha}_{2}$ 的坐标分别为

$X_{1}=(1, 0)^{T}, ~~~X_{2}=(1, 1)^{T}$ ,

则当我们选取 $\bm{\alpha}_{1}, \bm{\alpha}_{2}$ 作新的基矢时，变换对应的矩阵

$A'= \left( \begin{array}{c} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array} \right)^{-1} A \left( \begin{array}{c} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 & 1\\ 0 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{array} \right)$

我们在后文用特征向量结合图来解释它的意义。

3. 同一向量在不同基矢下的关系的推导

假定维空间向量 $\bm{\alpha}$ 在的基矢 $\bm{\varepsilon}_{1}, \bm{\varepsilon}_{2}, \cdots, \bm{\varepsilon}_{n}$ 与基矢 $\bm{\varepsilon}'_{1}, \bm{\varepsilon}'_{2}, \cdots, \bm{\varepsilon}'_{n}$ 下的坐标为

$X=(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})^{T}, ~~~X'=(x'_{1}, x'_{2}, \cdots, x'_{n})^{T}$

我们依旧假定旧基矢到新基矢的过渡矩阵为 , 则

$\left\{ \begin{array}{c} \bm{\alpha}=(\bm{\varepsilon}_{1}, \bm{\varepsilon}_{2}, \cdots, \bm{\varepsilon}_{n})X\\ \bm{\alpha}=(\bm{\varepsilon}'_{1}, \bm{\varepsilon}'_{2}, \cdots, \bm{\varepsilon}'_{n})X'=(\bm{\varepsilon}_{1}, \bm{\varepsilon}_{2}, \cdots, \bm{\varepsilon}_{n})SX' \end{array} \right. \Longrightarrow X=SX'$

4. 同一向量在不同基矢下的关系的举例

例如矩阵

$A= \left( \begin{array}{c} 1 & 1\\ 0 & 2 \end{array} \right)$

的两个特征值分别为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2$ , 对应的特征向量 $\bm{\alpha}_{1}, \bm{\alpha}_{2}$ 的坐标分别为

$X_{1}=(1, 0)^{T}, ~~~X_{2}=(1, 1)^{T}$ ,

则

$S= \left( \begin{array}{} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array} \right)$

$\bm{\alpha}_{1}$ 在新基矢 $\bm{\alpha}_{1}, \bm{\alpha}_{2}$ 下的坐标为 $X'_{1}=(1, 0)^{T}$ , 即

$X_{1}=SX'_{1}$ .

5. 复数范围内可对角化矩阵特征值的意义

由以上的讨论我们知道，如果一个阶矩阵 , 能够找到个线性无关的特征向量 $\bm{\alpha}_{1}, \bm{\alpha}_{2}, \cdots, \bm{\alpha}_{n}$ ，特征值分别为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ , 则对任意的 $1\leq i\leq n$ , 有 $\mathcal{A}\bm{\alpha}_{i}=\lambda_{i}\bm{\alpha}_{i}$ . 显然如果我们选取这些特征向量作为新的基矢，则 $\mathcal{A}$ 对应的矩阵是对角矩阵，且对角元就是特征值，即

$A'=diag(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n})$

这些特征值的意义就是变换 $\mathcal{A}$ 将空间沿向量 $\bm{\alpha}_{1}$ 方向扩大 $\lambda_{1}$ 倍，再沿向量 $\bm{\alpha}_{2}$ 方向扩大 $\lambda_{2}$ 倍……最终沿 $\bm{\alpha}_{n}$ 方向扩大 $\lambda_{n}$ 倍。

6. 复数范围内可对角化矩阵特征值的举例

例如矩阵

$A= \left( \begin{array}{c} 1 & 1\\ 0 & 2 \end{array} \right)$

特征值分别为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2$ , 对应的特征向量分别为

$X_{1}=(1, 0)^{T}, ~~~X_{2}=(1, 1)^{T}$ .

则矩阵作用于线性空间相当于沿向量 $(1, 0)^{T}$ 方向扩大倍，即保持不动，再沿向量 $(1, 1)^{T}$ 方向拉伸倍。可以在平面直角坐标系中想象此问题，如下图所示，这个变换将 $(2, 1)^{T}$ 变换为 $(3, 2)^{T}$ 。当然，坐标系也可以不是直角坐标系，可以是任意仿射坐标系。

7. 实矩阵可对角化并且存在复特征值的意义

我们先讨论实对称矩阵可以对角化的情形。由于实对称矩阵的矩阵元皆是实数，因此它的实特征值对应的特征向量的实部和虚部均是特征向量，因此我们寻找实矩阵的实特征值的特征向量时不需要虚数参与。由于实矩阵的特征多项式的系数均是实数，因此做任意一个复数根的复共轭也是它的根，因此它的复数根是复共轭成对出现的，具体证明参见

为什么实系数多项式方程的虚数解总是成对出现？

即如果 $\lambda$ 是特征值，则 $\bar{\lambda}$ 也是特征值。即选定全部特征向量排列好顺序得到的向量组 $\bm{\alpha}_{1}, \bm{\alpha}_{2}, \cdots, \bm{\alpha}_{n}$ 作新的基矢，变换 $\mathcal{A}$ 的矩阵为

$A'=diag(\lambda_{1}, \bar{\lambda}_{1}, \lambda_{2}, \bar{\lambda}_{2}, \cdots, \lambda_{m}, \bar{\lambda}_{m}, \lambda_{m+1}, \lambda_{m+2}, \cdots, \lambda_{n-m})$

其中 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{m}$ 不是实数，而 $\lambda_{m+1}, \lambda_{m+2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是实数。

(1). 全部为实根

当 m=0 时，说明没有复根，这种情况非常简单，这些特征值的意义就是变换 $\mathcal{A}$ 将空间沿向量 $\bm{\alpha}_{1}$ 方向扩大 $\lambda_{1}$ 倍，再沿向量 $\bm{\alpha}_{2}$ 方向扩大 $\lambda_{2}$ 倍……最终沿 $\bm{\alpha}_{n}$ 方向扩大 $\lambda_{n}$ 倍。

(2). 存在非实根

如果存在复数根 $\lambda_{j}$ , 相应的特征向量为 $\bm{\alpha}_{j}$ 的坐标为

$Z_{j}=X_{j}+\mathbb{i}Y_{j}$ ,

其中

$X_{j}=(x_{1j}, x_{2j}, \cdots, x_{nj})^{T}\\ Y_{j}=(y_{1j}, y_{2j}, \cdots, y_{nj})^{T}$

的所有分量均为实数。由

$AZ_{j}=\lambda_{j}(X_{j}+\mathbb{i}Y_{j})\Longleftrightarrow A\bar{Z}_{j}=\bar{\lambda}_{j}\bar{Z}_{j}=\bar{\lambda}_{j}(X_{j}-\mathbb{i}Y_{j})$

因此特征值为 $\bar{\lambda}_{j}$ 的特征向量为

$\bar{Z}_{j}=X_{j}-\mathbb{i}Y_{j}$

进一步有

$\mathcal{A}X_{j} =\frac{\mathcal{A}(Z_{j}+\bar{Z}_{j})}{2} =\frac{\mathcal{A}Z_{j}+\mathcal{A}\bar{Z}_{j}}{2} =\mathbb{Re}(\lambda_{j})X_{j}-\mathbb{Im}(\lambda_{j})Y_{j}\\ \mathcal{A}Y_{j} =\frac{\mathcal{A}(Z_{j}-\bar{Z}_{j})}{2} =\frac{\mathcal{A}Z_{j}-\mathcal{A}\bar{Z}_{j}}{2} =\mathbb{Im}(\lambda_{j})X_{j}+\mathbb{Re}(\lambda_{j})Y_{j}$

当然，这个结论仅用 $\mathcal{A}Z_{j}$ 表达式的实部等于实部，虚部等于虚部也只可以直接推出来。也可以推出来，因此我们可以令

$\lambda_{j}=|\lambda_{j}|\mathbb{e}^{-\mathbb{i}\theta_{j}}=|\lambda_{j}|(\cos\theta_{j}-\mathbb{i}\sin\theta_{j})$

可得

$\mathcal{A}(X_{j}, Y_{j}) = |\lambda_{j}| (X_{j}, Y_{j}) \left( \begin{array}{c} \cos\theta_{j} & -\sin\theta_{j}\\ \sin\theta_{j} & \cos\theta_{j} \end{array} \right)$

这说明以坐标为 $X_{j}, Y_{j}$ 的向量为新的基矢时，变换的矩阵

$A'=|\lambda_{j}| \left( \begin{array}{c} \cos\theta_{j} & -\sin\theta_{j}\\ \sin\theta_{j} & \cos\theta_{j} \end{array} \right)$

这个矩阵是一个正交矩阵的 $|\lambda_{j}|$ 倍，如果旧的基矢本身就是正交的且模长相等，这个矩阵表示的是在这个基矢所在的这个二维平面内旋转再将所有向量扩大 $|\lambda_{j}|$ 倍。显然，如果我们选择向量 $X_{1}, Y_{1}, X_{2}, Y_{2}, \cdots, X_{m}, Y_{m}, Z_{m+1}, Z_{m+2}, \cdots, Z_{n}$ 作为新的基矢，则 $\mathcal{A}$ 对应的矩阵为

$A' = \left( \begin{array}{c} B_{1} & O & \cdots & O & O & O & \cdots & O\\ O & B_{2} & \cdots & O & O & O & \cdots & O\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ O & O & \cdots & B_{m} & O & O & \cdots & O\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ O & O & \cdots & O & \lambda_{m+1} & 0 & \cdots & 0\\ O & O & \cdots & O & 0 & \lambda_{m+2} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ O & O & \cdots & O & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-m}\\ \end{array} \right)$

其中

$B_{i} = |\lambda_{i}| \left( \begin{array}{c} \cos\theta_{i} & -\sin\theta_{i}\\ \sin\theta_{i} & \cos\theta_{i} \end{array} \right)$

8. 实矩阵可对角化并且存在复特征值的举例

例如矩阵

$A= \left( \begin{array}{c} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array} \right)$

的特征值为 $\lambda_{1}=\mathbb{i}=\mathbb{e}^{\mathbb{i}\frac{\pi}{2}}, ~~~\lambda_{2}=-\mathbb{i}=\mathbb{e}^{-\mathbb{i}\frac{\pi}{2}}$ , 相应的特征向量为

$Z=(1, \mathbb{i})^{T}, ~~~\bar{Z}=(1, -\mathbb{i})^{T}$ ,

则

$X=(1, 0)^{T}, ~~~Y=(0, 1)^{T}$ ,

所以

$A'= (X, Y)^{T}A(X, Y)=A$

已经是我们想要的结果。如果我们最初选择的基矢本身就是正交的，那这个变换表示二维平面的一个角度为 $\frac{\pi}{2}$ 的旋转。如图，这个变换将向量 $(1, 1)^{T}$ 旋转 $\frac{\pi}{2}$ 变为 $(-1, 1)^{T}$ .

9. 复数范围内不可对角化矩阵特征值的意义

有些矩阵是不能对角化的，举一个最简单的例子

$A= \left( \begin{array}{c} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array} \right)$

的两个特征值均为 , 但是特征向量只有 $(1, 0)^{T}$ , 因为对任意的 $(x, y)^{T}$ 有

$A(x, y)^{T}=(y, 0)^{T}$ ,

这说明只要 $y\neq 0$ , 永远也不可能是特征向量。根据约当标准型理论，任意一个矩阵均可以被化为约当型即选择一组新的基矢后 $\mathcal{A}$ 的变换矩阵

$A'= \left( \begin{array}{c} J_{n_{1}}(\lambda_{1}) & 0 & \cdots & 0\\ 0 & J_{n_{2}}(\lambda_{2}) & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & J_{n_{k}}(\lambda_{k}) \end{array} \right)$

也就是说存在一个新的向量组 $\bm{\alpha}_{11}, \bm{\alpha}_{12}, \cdots, \bm{\alpha}_{1n_{1}}, \bm{\alpha}_{21}, \bm{\alpha}_{22}, \cdots, \bm{\alpha}_{2n_{2}}, \cdots\cdots \bm{\alpha}_{k1}, \bm{\alpha}_{k2}, \cdots, \bm{\alpha}_{kn_{k}}$ , 设以它们在原基下的坐标为列向量 $Z_{11}, Z_{12}, \cdots, Z_{1n_{1}}, Z_{21}, Z_{22}, \cdots, Z_{2n_{2}}, \cdots\cdots Z_{k1}, Z_{k2}, \cdots, Z_{kn_{k}}$ 排列成的矩阵为 , 使得

$A'=S^{-1}AS$

其中

$J_{n_{i}}(\lambda_{i})= \left( \begin{array}{c} \lambda_{i} & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & \lambda_{i} & 1 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \lambda_{i} & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{i} & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_{i}\\ \end{array} \right)$

这说明虽然没有我们不能找到足够多的特征向量，但是我们可以找到足够多的循环向量即 的列向量使得

$\left\{ \begin{array}{c} AZ_{i~n_{i}}=\lambda_{k}Z_{i~n_{i}}+Z_{i~n_{i}-1}\\ AZ_{i~n_{i}-1}=\lambda_{i}Z_{i~n_{i}-1}+Z_{i~n_{i}-2}\\ \vdots\\ AZ_{i~2}=\lambda_{i}Z_{i~2}+Z_{i~1}\\ AZ_{i~1}=\lambda_{i}Z_{i~1} \end{array} \right.$

也就是说在 $\bm{\alpha}_{i1}, \bm{\alpha}_{i2}, \cdots, \bm{\alpha}_{in_{i}}$ 张成的线性子空间 $L(\bm{\alpha}_{i1}, \bm{\alpha}_{i2}, \cdots, \bm{\alpha}_{in_{i}})$ 是 $\mathcal{A}$ 的一个不变子空间，这种变换在几何上叫做“错切“。关于任何矩阵均可化为约当标准型的结论限于篇幅我们不在这里证明，本人在自己的著作《高等代数精深简明讲义》中用非常直观的方法证明了这些结论，并给出了寻找过渡矩阵的两种方法。但即便是非常直观和简单，也不是短短一篇文章能够论述完毕的。

10. 复数范围内不可对角化矩阵的举例

例如矩阵

$A= \left( \begin{array}{c} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array} \right)$

的矩阵特征值 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1$ , 但是只有一个特征向量 $X=(1, 0)^{T}$ , 显然对于任意的向量 $(x, y)^{T}$ , 只要 $y\neq 0$ 有

$A(x, y)^{T}=(x+y, y)^{T}$

因此均不是特征向量。对于普通的平面直角坐标系，它表示轴方向向量 $(1, 0)^{T}$ 不动，轴方向向量 $(0, 1)^{T}$ 变为轴与轴的角平分线方向。如图

11. 实矩阵不可对角化矩阵特征值的意义

对于实矩阵化为约当标准型也可能存在有复数根的情形。我们知道，对于任意的向量

$AX=Y\Longleftrightarrow A\bar{X}=\bar{Y}$

因此矩阵化为约当标准型以后的约当块也同样是复共轭成对出现的。即我们可以找到一个新的向量组

$\bm{\alpha}_{11}, \bm{\alpha}_{12}, \cdots, \bm{\alpha}_{1n_{1}}, \bm{\bar{\alpha}}_{11}, \bm{\bar{\alpha}}_{12}, \cdots, \bm{\bar{\alpha}}_{1n_{1}}, \bm{\alpha}_{21}, \bm{\alpha}_{22}, \cdots, \bm{\alpha}_{2n_{2}}, \bm{\bar{\alpha}}_{21}, \bm{\bar{\alpha}}_{22}, \cdots, \bm{\bar{\alpha}}_{2n_{2}}, \cdots\cdots\\ \bm{\alpha}_{m1}, \bm{\alpha}_{m2}, \cdots, \bm{\alpha}_{mn_{m}}, \bm{\bar{\alpha}}_{m1}, \bm{\bar{\alpha}}_{m2}, \cdots, \bm{\bar{\alpha}}_{mn_{m}}, \bm{\alpha}_{m+1~1}, \bm{\alpha}_{m+1~2}, \cdots, \bm{\alpha}_{m+1~n_{m+1}}, \bm{\alpha}_{m+2~1}, \bm{\alpha}_{m+2~2}, \cdots, \bm{\alpha}_{m+2~n_{m+2}}, \cdots\cdots\\ \bm{\alpha}_{k1}, \bm{\alpha}_{k2}, \cdots, \bm{\alpha}_{kn_{k}}$

设以它们在原基下的坐标为列向量

$Z_{11}, Z_{12}, \cdots, Z_{1n_{1}}, \bar{Z}_{11}, \bar{Z}_{12}, \cdots, \bar{Z}_{1n_{1}}, Z_{21}, Z_{22}, \cdots, Z_{2n_{2}}, \bar{Z}_{21}, \bar{Z}_{22}, \cdots, \bar{Z}_{2n_{2}}, \cdots\cdots\\ Z_{m1}, Z_{m2}, \cdots, Z_{mn_{m}}, \bar{Z}_{m1}, \bar{Z}_{m2}, \cdots, \bar{Z}_{mn_{m}}, Z_{m+1~1}, Z_{m+1~2}, \cdots, Z_{m+1~n_{m+1}}, Z_{m+2~1}, Z_{m+2~2}, \cdots, Z_{m+2~n_{m+2}}, \cdots\cdots\\ Z_{k1}, Z_{k2}, \cdots, Z_{kn_{k}}$

作新的基矢，变换 $\mathcal{A}$ 的矩阵变为约当型矩阵

$A'=diag(J_{n_{1}}(\lambda_{1}), J_{n_{1}}(\bar{\lambda}_{1}), J_{n_{2}}(\lambda_{2}), J_{n_{2}}(\bar{\lambda}_{2}), \cdots, J_{n_{m}}(\lambda_{m}), J_{n_{m}}(\bar{\lambda}_{m}), J_{n_{m+1}}(\lambda_{m+1}), J_{n_{m+2}}(\lambda_{m+2}), \cdots, J_{n_{k}}(\lambda_{k}))$

与第4部分相同，由于实对称矩阵的矩阵元皆是实数，因此它的实特征值对应的特征向量的实部和虚部均是特征向量，因此我们寻找实矩阵的实特征值的约当块对应的向 $Z_{m+1}, Z_{m+2}, \cdots, Z_{n}$ 时不需要虚数参与。

(1). 全部为实根

当 m=0 时，说明没有复根，这种情况非常简单，就是我们刚刚讲过的错切。

(2). 存在非实根

如果存在复数根 $\lambda_{j}$ , 其中 $1\leq j\leq m$ , 相应的向量为 $\bm{\alpha}_{jl}$ 的坐标为

$Z_{j~l}=X_{j~l}+\mathbb{i}Y_{j~l}$ ,

其中

$X_{j~l}=(x_{1~j~l}, x_{2~j~l}, \cdots, x_{n~j~l})^{T}\\ Y_{j~l}=(y_{1~j~l}, y_{2~j~l}, \cdots, y_{n~j~l})^{T}$

的所有分量均为实数。由

$AZ_{j~l}=\lambda_{j}Z_{j~l}+Z_{j~l-1}=\lambda_{j}(X_{j~l}+\mathbb{i}Y_{j~l})+X_{j~l-1}+\mathbb{i}Y_{j~l-1}\\ \Longleftrightarrow A\bar{Z}_{j~l}=\bar{\lambda}_{j}\bar{Z}_{j~l}+\bar{Z}_{j~l-1}=\bar{\lambda}_{j}(X_{j~l}-\mathbb{i}Y_{j~l})+X_{j~l-1}-\mathbb{i}Y_{j~l-1}$

因此向量为

$\bar{Z}_{j}=X_{j}-\mathbb{i}Y_{j}$

与特征值为 $\bar{\lambda}_{j}$ 的关系和向量

$\bar{Z}_{j}=X_{j}+\mathbb{i}Y_{j}$

的关系完全一致。进一步有

$\mathcal{A}X_{j~l} =\frac{\mathcal{A}(Z_{j}+\bar{Z}_{j})}{2} =\frac{\mathcal{A}Z_{j}+\mathcal{A}\bar{Z}_{j}}{2} =\mathbb{Re}(\lambda_{j})X_{j~l}-\mathbb{Im}(\lambda_{j})Y_{j~l}+X_{j~l-1}\\ \mathcal{A}Y_{j~l} =\frac{\mathcal{A}(Z_{j}-\bar{Z}_{j})}{2} =\frac{\mathcal{A}Z_{j}-\mathcal{A}\bar{Z}_{j}}{2} =\mathbb{Im}(\lambda_{j})X_{j~l}+\mathbb{Re}(\lambda_{j})Y_{j~l}+Y_{j~l-1}$

当然，这个结论仅用 $\mathcal{A}Z_{j}$ 表达式的实部等于实部，虚部等于虚部也只可以直接推出来。因此我们可以令

$\lambda_{j}=|\lambda_{j}|\mathbb{e}^{-\mathbb{i}\theta}=|\lambda_{j}|(\cos\theta-\mathbb{i}\sin\theta)$

可得

$\mathcal{A}(X_{j~l}, Y_{j~l}) = |\lambda_{j}| (X_{j~l}, Y_{j~l}) \left( \begin{array}{c} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{array} \right) + (X_{j~l-1}, Y_{j~l-1})$

这说明以坐标为 $X_{j}, Y_{j}$ 的向量为新的基矢时，变换的矩阵

$A'=|\lambda_{j}| \left( \begin{array}{c} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{array} \right)$

这个矩阵是一个正交矩阵的 $|\lambda_{j}|$ 倍，如果旧的基矢本身就是正交的且模长相等，这个矩阵表示的是在这个基矢所在的这个二维平面内旋转再将所有向量扩大 $|\lambda_{j}|$ 倍。显然，当我们选取新的向量组

$X_{11}, Y_{11}, X_{12}, Y_{12}, \cdots, X_{1n_{1}}, Y_{1n_{1}}, X_{21}, Y_{21}, X_{22}, Y_{22}, \cdots, X_{2n_{2}}, Y_{2n_{2}}, \cdots\cdots\\ X_{m1}, Y_{m1}, X_{m2}, Y_{m2}, \cdots, X_{mn_{m}}, Y_{mn_{m}}, Z_{m+1~1}, Z_{m+1~2}, \cdots, Z_{m+1~n_{m+1}}, Z_{m+2~1}, Z_{m+2~2}, \cdots, Z_{m+2~n_{m+2}}, \cdots\cdots\\ Z_{k1}, Z_{k2}, \cdots, Z_{kn_{k}}$

$\mathcal{A}$ 的矩阵为

$A' = diag(J_{n_{1}}(\lambda_{1}, \bar{\lambda}_{1}), J_{n_{2}}(\lambda_{2}, \bar{\lambda}_{2}), \cdots, J_{n_{m}}(\lambda_{m}, \bar{\lambda}_{m}), J_{n_{m+1}}(\lambda_{m+1}), J_{n_{m+2}}(\lambda_{m+2}), \cdots, J_{n_{k}}(\lambda_{k}))$

其中

$J_{n_{i}}(\lambda_{i}, \bar{\lambda}_{i}) = \left( \begin{array}{c} B_{i} & E_{2} & O & \cdots & O & O\\ O & B_{i} & E_{2} & \cdots & O & O\\ O & O & B_{i} & \cdots & O & O\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ O & O & O & \cdots & B_{i} & E_{2}\\ O & O & O & \cdots & O & B_{i}\\ \end{array} \right)$

其中

$E_{2} = \left( \begin{array}{c} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right)$

是二维单位矩阵，

$B_{i} = |\lambda_{i}| \left( \begin{array}{c} \cos\theta_{i} & -\sin\theta_{i}\\ \sin\theta_{i} & \cos\theta_{i} \end{array} \right)$

12. 实矩阵存在复根且复根对应的子空间不可对角化的举例

这个例子是本人凭借对矩阵出神化的理解而构造出来的，希望每一位读者看完此文章均能达到这种境界。假定矩阵

$A= \left( \begin{array}{c} \mathbb{i} & 1 & 0 & 0\\ 0 & \mathbb{i} & 0 & 0\\ 0 & 0 & -\mathbb{i} & 1\\ 0 & 0 & 0 & -\mathbb{i} \end{array} \right)$

这个矩阵已经是约当标准型，但是我们观察到这个矩阵的复根是复共轭成对出现的，并且约当块的结构对应一致，因此我们一定能够通过相似变换变回实矩阵。由于已经是标准型，所以令

$\left\{ \begin{array}{c} Z_{1}=(1, 0, 0, 0)^{T}, \\ Z_{2}=(0, 1, 0, 0)^{T}, \\ \bar{Z}_{1}=(0, 0, 1, 0)^{T}, \\ \bar{Z}_{2}=(0, 0, 0, 1)^{T}, \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} X_{1}=\frac{Z_{1}+\bar{Z}_{1}}{2}=(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 0)^{T}, \\ X_{2}=\frac{Z_{2}+\bar{Z}_{2}}{2}=(0, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})^{T}, \\ Y_{1}=\frac{Z_{1}-\bar{Z}_{1}}{2\mathbb{i}}=(-\frac{\mathbb{i}}{2}, 0, \frac{\mathbb{i}}{2}, 0)^{T}, \\ Y_{2}=\frac{Z_{2}-\bar{Z}_{2}}{2\mathbb{i}}=(0, -\frac{\mathbb{i}}{2}, 0, \frac{\mathbb{i}}{2})^{T}, \\ \end{array} \right.$

我们之所以认为 $(1, 0, 0, 0)^{T}$ 与 $(0, 0, 1, 0)^{T}$ 复共轭，是因为他们是复共轭的特征值对应的两个同等地位的向量，数值上没有复共轭没有关系，我们可以认为相应的第一个和第三个基矢是互为复共轭的。则我们重新选取 $X_{1}, X_{2}, Y_{1}, Y_{2}$ 作新的基矢，则变换在该基矢下的矩阵

$A' = (X_{1}, X_{1}, Y_{1}, Y_{2})^{-1}A(X_{1}, X_{1}, Y_{1}, Y_{2}) = \left( \begin{array}{c} 0 & 1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array} \right)$

这个结果早在我们意料之中，是 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时的特殊结果。

编辑于 2022-12-31 · 著作权归作者所有