阻尼的产生机理!

图1 结合面动态切向力与位移的非线性关系

阻尼特征值的数学描述

用于表征阻尼的量有诸如阻尼比 ζ 、损耗因子 η 、对数衰减率 Δ 和品质因子 Q 等。这些量来表征结构的阻尼时，在小阻尼的情况下有一定的关系，但在高阻尼情型下并不适用。下面简单介绍一下各个量。

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对数衰减率

当阻尼比 ζ <1时，单自由度自由振动系统的响应为对数衰减的正弦函数，如图2所示。

图2 对数衰减率

则对数衰减率 Δ 为

式中， n 为峰值个数。

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阻尼比

图3 粘性阻尼单自由度系统示意图

对于图3所示的单自由度有阻尼系统，其自由振动方程为：

令

即有

其中的 ζ 即为阻尼比，也称为粘性阻尼因子。需注意，阻尼比仅是对于阻尼力与速度成正比的粘性阻尼而言，对于其它形式的阻尼(如结构阻尼)，用阻尼比来表征只是在能量等效上的一种近似，一般只适用于小阻尼情形。还有就是阻尼比是对单自由度系统而言，对于多自由度系统来说，有模态阻尼比的概念，是在模态坐标下的阻尼比。

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损耗因子

损耗因子 η 所表征的阻尼是用于描述正弦激励与相应的正弦响应之间的关系。对于线性系统，若激励力是正弦信号，如

则响应也是正弦信号，如

其中响应的频率 ω 与激励力的相同，但有一个相位的迟滞 δ ，由此可定义损耗因子 η 为

需要注意，对于非线性系统，正弦激励的响应并不一定是正弦信号，因此并不能定义唯一的损耗因子 η 。同阻尼比类似，在多自由度系统下，损耗因子为模态损耗因子。

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材料损耗因子

材料的损耗因子 β 表征了材料耗散机械能的能力，可表示为材料在一个振动周期内损耗的能量和最大应变能的比值：

其中 ΔW 为材料在一个周期内耗散的能量， W 为最大应变能。需要注意，材料损耗因子 β 是用于表征材料的阻尼，而损耗因子 η 是用于表征结构或系统的阻尼。

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品质因子

单自由度有阻尼系统的简谐激励下的强迫振动运动方程为：

由此可求得系统的稳态响应为( x ) t ，则响应与激振力的比值，即复频响应为：

则品质因子 Q 定义为

在小阻尼情形下有

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各阻尼参数的比较

对于前面的几种阻尼参数，在小阻尼情形( η <0.2)下可有以下近似关系：

其中， η 为损耗因子， ζ 为阻尼比， Δ 为对数衰减率， Q 为品质因子， Δω 为半功率点带宽， ω n为无阻尼固有频率。需要注意，上述关系只是在线性系统的共振点附近才能成立。

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