【JY】结构瑞利阻尼与经济订货模型

简介

    瑞利阻尼是学习《结构动力学》多自由度振动必不可少的学习内容，而经济订货模型(EOQ)是经济学中《财务管理》比较关键的内容，八竿子打不着的他们，二者有什么相似呢？

    首先，先科普下经济订货模型 (EOQ)，即 Economic Order Quantity 是固定订货批量模型的一种，可以用来确定企业一次订货（外购或自制）的数量。当企业按照经济订货批量来订货时，可实现订货成本和储存成本之和最小化。

    经济订货批量模型是目前大多数企业最常采用的货物定购方式。与经济订货量的基本假设相关的存货成本：

（1）取得成本：订货成本(固定成本、变动成本)、购置成本

（2）存储成本：固定成本、变动成本

    取得成本指为取得某种存货而支出的成本，用TCa，表示，分为订货成本和购置成本。

订货成本指取得订单的成本，其中一部分与订货次数无关，如常设采购机构的基本开支，称为订货的固定成本，用F1表示；另一部分与订货次数有关，如差旅费、邮资等，称为订货的变动成本，用K表示。

    购置成本指存货本身的价值。存货单价用U表示设存货年需求量为D，每次进货量为Q，则

    储存成本指为保持存货而发生的成本，分为固定成本和变动成本，用 TCc表示。固定成本与存货数量无关，如仓库职工的固定月工资，用 F2 表示，变动成本与存货数量有关，如存货的变质损坏，用Kc表示则根据已知可以得出：

    根据经济订货量的基本假设，存货总成本的公式可以简化为：

    将该公式进行作图绘制，可以得到三条曲线：

    经典阻尼是结构系统中所有部位都具有相似阻尼机制的一种合理的抽象，例如多层建筑沿其高度具有相似的结构体系和材料。建立经典阻尼矩阵的方法一般有：瑞利阻尼 / 扩展瑞利阻尼/振型阻尼。

    瑞利阻尼：建立经典阻尼矩阵的最简单方法是使其与质量矩阵或刚度矩阵成比例，因为无阻尼振型对于质量矩阵和刚度矩阵都是正交的。为此，考虑质量比例阻尼或刚度比例阻尼，将这两部分叠加起来则是瑞利阻尼。

质量比例阻尼                             刚度比例阻尼

    比例常数a0和a1的单位分别为s-1和s。从物理上来说，质量比例阻尼和刚度比例阻尼分别代表了上图中多层建筑物的阻尼模型。刚度比例阻尼从直观上容易理解，因为它可以用来模拟层间变形所产生的能量耗散。相反，质量比例阻尼在物理上难于理解，因为用它来模拟的空气阻尼在大多数结构系统中往往很小。

    对于质量比例阻尼，阻尼比与固有频率成反比；而对于刚度比例阻尼，阻尼比与固有频率成正比。当多自由度系统主要振型的频率范围很宽时，质量比例阻尼与刚度比例阻尼都不再适用，因为振型阻尼比随固有频率的变化与试验数据不一致，实验数据表明，结构的多数阶振型大体上都具有相同的阻尼比，而不同振型的频率却往往相差较大。

    如果假定阻尼矩阵与质量矩阵和刚度矩阵的组合成比例，则可以得到一个明显的改进结果。首先，考虑瑞利阻尼：

    在实际应用中，通常将wi取为多自由度系统的基频，即wi=w1，而wj则在对动力反应有显著贡献的高阶振型中选取。这样能够保证对于这两个振型可以得到相同的阻尼比。在这两个指定频率之间的频率所对应的振型将具有较低的阻尼比。这样，具有很高频率的振型反应将因高阻尼比而被有效地消除。

    系数a可以根据在任何n个振型中指定的阻尼比来确定，级数中所包括的项数必须与给定的振型阻尼比数目相同。对于每一个阻尼比，列出相应的方程，从而由这些方程解出系数，从原理上讲，方程数目可以任意多个（小于等于结构自由度），且方程数目越多越好。例如，为了计算频率为wi，wj，wr，ws 的四阶振型所需阻尼比的系数，在式中取方程数目可以取4个(注意：若级数中的项数为奇数（大于1），则远大于受控范围的高阶振型阻尼比将出现负值的情况，从而使得分析结果无效)，则可以得到：

四项解的情况                                 三项解的情况

存货总成本的公式可以简化为：

而在瑞利阻尼系统中，第i阶振型的阻尼比为：

    为了较好比较，若是存货总成本中常数项较小忽略，则可以看出，两条曲线斜率/曲率几乎一致。

    所以说世界消解统一的宇宙秩序，解构了由这种宇宙秩序所设定的统一的价值世界，价值世界出现了多元分化。世界原本是没有意义的，人们为了摆脱和超越当下世界的短暂性和有限性，通过预设与想象，以各种身份(工程师、经济学家、医生)的角度赋予世界以某种意义， 也就是说世界原本是统一的，但同时也是多元的，对于同一个事物，从不同的角度理解会得到不一样的结论，世界不是非黑即白、非对即错。

-----建源之光——工程侠