...can be achieved by a brief period lying, or even sitting down.  = can be achieved by a brief period's lying （down), or even a brief period's sitting down.

这里是动名词结构，lying （down)和后面的sitting down均为并列关系的动名词，(实际是共用一个down)，这种用法，可以理解为period 后省略所有格’s, 所以作者没有使用of. 当然如果使用of 也可以，属于另一种用法。请看外刊例句：

同意好题老师的解答，我提供一个类似的词典例句：

以下解答仅供网友参考:

Rest can be achieved by a brief period lying.

=Rest can be achieved by lying (for 省略) a brief period。

=Rest can be achieved by lying (for省略）a brief period (of time省略)

备注(1):lying 为动名词作介词by宾语。

备注(2):a brief period为时间状语修饰动名词lying。

备注(3):介词for 表示动作持续时间长度。即lying for a brief period躺一短暂的时间

a period of +表示时间的名词

This crisis might last for a long period of time.  这次危机可能持续很长时间。

He stayed here for a period of a few months.  他在这里停留了几个月时间。

The attempts to make changes in such a brief period of time will not yield results.  

在这么短暂的时期内做出改变的尝试不会产生结果。