[翻译]锥线几何(Geometry of Conics)第二章：来自古典几何学的馈赠2.2(V)

本文译自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans. Alex Martsinkovsky, Geometry of Conics, American Mathematical Society, 2007.
翻译：野吕侯奈因
仅供学习交流使用
译者按：
本书在几何爱好者之间小有人气，但目前网上只能找到一些零散的翻译．鉴于目前通行的数学教学中对于圆锥曲线问题的处理方式过于单一，希望能借翻译本书的机会来推广一下圆锥曲线的射影几何视角．

习题12. 求证：切于一椭圆的两条共轭直径(conjugate diameter)且圆心落在椭圆上的诸圆半径相等．

作者注：若椭圆的一条直径与另一条直径两端处切线平行，则称这两条直径为共轭直径．

解答. 构造出一个将该椭圆变换为圆的仿射变换．于是题中的圆也就变为了椭圆．而这些椭圆还是相似（即其长短半轴之比相同）且以相同方式摆放的（对应轴都平行）．因此我们只需证明其“尺寸”相同即可．而原椭圆中的共轭直径变为了所得圆中的垂直直径，只需调用1.4中的结论（译者注：即其中蒙日圆的部分）便可知若这些椭圆的“尺寸”不同，则关于以上椭圆的视角为直角的点所处的圆其半径也会不同．而所有这样形成的半径又都等于大圆半径（图5.3）．

习题13. 若线段 $BC$ 两端分别位于交于一点 $A$ 的两条直线上且线段长度保持不变．求证任何在 $BC$ 上的位置固定的点 $P$ 的轨迹为一椭圆（图2.13）．

解答. 设 $O$ 为 $%5Ctriangle%20ABC$ 的外接圆圆心．由正弦定理，该圆的半径 $OA$ 及 $%5Cangle%20AOP$ 的大小均不会改变．因此，线段 $OP$ 的长度也不会改变（见图5.4）．另外，由于 $%5Cangle%20AOB$ 的角平分线总垂直于 $AB$ 且 $%5Cangle%20BOP$ 大小不变，有 $P$ 的外角平分线方向不变．设 $P'$ 为 $P$ 关于该角平分线的对称点．则有 $P'$ 落在直线 $OA$ 上且 $AP'$ 长度恒定．故有 $AP$ 和 $AP'$ 在 $%5Cangle%20AOP$ 外角平分线的诸平行方向上的投影相等，而在 $%5Cangle%20AOP$ 内角平分线的诸平行方向上 $AP$ 的投影却等于 $AP'$ 在同方向上的投影再乘上 $%5Cfrac%7BAO-OP%7D%7BAO%2BOP%7D$ （译者注：此处可理解为在两个合适的方向上对 $AP$ 进行正交分解）．因此 $P$ 也就运动在将一个以 $A$ 为圆心， $AP'$ 为半径的圆在 $%5Cangle%20AOP$ 内角平分线方向上压缩至原来的 $%5Cfrac%7BAO-OP%7D%7BAO%2BOP%7D$ 倍后所得的椭圆上．

习题14. 对于 $%5Ctriangle%20ABC$ 三边上的六点： $BC$ 上的 $A_1$ 、 $A_2$ ， $AC$ 上的 $B_1$ 、 $B_2$ 及 $AB$ 上的 $C_1$ 、 $C_2$ ，求证该六点共圆锥曲线当且仅当 $%5Cfrac%7BBA_1%5Ccdot%20BA_2%7D%7BCA_1%5Ccdot%20CA_2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7BCB_1%5Ccdot%20CB_2%7D%7BAB_1%5Ccdot%20AB_2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7BAC_1%5Ccdot%20AC_2%7D%7BBC_1%5Ccdot%20BC_2%7D%3D1$ 时成立．该比式计算时可带符号．对于其中任一表达式，正方向为从一顶点到其所在边上的另一顶点．

解答. 首先来考虑与三角形交于题中六点的圆锥曲线为圆的情形．从而自然存在形如 $BA_1%5Ccdot%20BA_2%3DBC_1%5Ccdot%20BC_2$ 的诸等式（译者注：由切割线定理）．故而有原比式等于1．接下来考虑所接圆锥曲线为椭圆的情形，而其中上述比式的值仍然是不变的，这是因为对于其中的任一比式一个将该椭圆变换为圆的仿射变换不会改变该比式（在该式中同时乘除两线段的操作都可以相对于共线线段而进行的）．然而该操作在面对双曲线（译者注：及抛物线）时就不奏效了，这是因为并不存在能将双曲线变换为圆的仿射变换．但将其推广到射影变换的范畴却是可以做到的．

我们只需说明在射影变换下上述比式的值仍然是不变的．

由于任何射影变换都可被归类为中心投影的复合．设 $P$ 为射影中心．则有

$%5Cfrac%7BBA_1%5Ccdot%20BA_2%7D%7BCA_1%5Ccdot%20CA_2%7D%3D%5Cfrac%7BS_%7B%5Ctriangle%20PBA_1%7D%5Ccdot%20S_%7B%5Ctriangle%20PBA_2%7D%7D%7BS_%7B%5Ctriangle%20PCA_1%7D%5Ccdot%20S_%7B%5Ctriangle%20PCA_2%7D%7D$

$%3D%5Cfrac%7B(PB%5Ccdot%20PA_1%5Ccdot%5Csin%5Cangle%20BPA_1)%5Ccdot%20(PB%5Ccdot%20PA_2%5Ccdot%5Csin%5Cangle%20BPA_2)%7D%7B(PC%5Ccdot%20PA_1%5Ccdot%5Csin%5Cangle%20CPA_1)%5Ccdot%20(PC%5Ccdot%20PA_2%5Ccdot%5Csin%5Cangle%20CPA_2)%7D$

$%3D%5Cfrac%7BPB%5E2%7D%7BPC%5E2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B%5Csin%5Cangle%20BPA_1%5Ccdot%20%5Csin%5Cangle%20BPA_2%7D%7B%5Csin%5Cangle%20CPA_1%5Ccdot%20%5Csin%5Cangle%20CPA_2%7D$ ．

将对其余两边以类似方法得到的诸等式相乘，有：

$%5Cfrac%7BBA_1%5Ccdot%20BA_2%7D%7BCA_1%5Ccdot%20CA_2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7BCB_1%5Ccdot%20CB_2%7D%7BAB_1%5Ccdot%20AB_2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7BAC_1%5Ccdot%20AC_2%7D%7BBC_1%5Ccdot%20BC_2%7D$

$%3D(%5Cfrac%7BPB%5E2%7D%7BPC%5E2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B%5Csin%5Cangle%20BPA_1%5Ccdot%20%5Csin%5Cangle%20BPA_2%7D%7B%5Csin%5Cangle%20CPA_1%5Ccdot%20%5Csin%5Cangle%20CPA_2%7D)$

$%5Ccdot%20(%5Cfrac%7BPC%5E2%7D%7BPA%5E2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B%5Csin%5Cangle%20CPB_1%5Ccdot%20%5Csin%5Cangle%20CPB_2%7D%7B%5Csin%5Cangle%20APB_1%5Ccdot%20%5Csin%5Cangle%20APB_2%7D)$

$%5Ccdot%20(%5Cfrac%7BPA%5E2%7D%7BPB%5E2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B%5Csin%5Cangle%20APC_1%5Ccdot%20%5Csin%5Cangle%20APC_2%7D%7B%5Csin%5Cangle%20BPC_1%5Ccdot%20%5Csin%5Cangle%20BPC_2%7D)$

$%3D(%5Cfrac%7B%5Csin%5Cangle%20BPA_1%5Ccdot%20%5Csin%5Cangle%20BPA_2%7D%7B%5Csin%5Cangle%20CPA_1%5Ccdot%20%5Csin%5Cangle%20CPA_2%7D)$

$%5Ccdot(%5Cfrac%7B%5Csin%5Cangle%20CPB_1%5Ccdot%20%5Csin%5Cangle%20CPB_2%7D%7B%5Csin%5Cangle%20APB_1%5Ccdot%20%5Csin%5Cangle%20APB_2%7D)$

$%5Ccdot%20(%5Cfrac%7B%5Csin%5Cangle%20APC_1%5Ccdot%20%5Csin%5Cangle%20APC_2%7D%7B%5Csin%5Cangle%20BPC_1%5Ccdot%20%5Csin%5Cangle%20BPC_2%7D)$ ．

由此便不难发现该等式的值与射影平面的选取无关了．故该等式对于双曲线（译者注：及抛物线）同样成立．

接下来就只需说明若有满足该等式的六点，则其共圆锥曲线了．考虑一条只经过其中五点的圆锥曲线（译者注：由射影变换性质1的推论，该构造是合理的），为行文方便，设这五点不包括 $C_2$ ．而该圆锥曲线除 $C_1$ 外又必交 $AB$ 于一点 $C'_2$ ．则有所选取的五点再加上 $C'_2$ 满足给定的条件．而不难说明该条件可唯一确定 $C'_2$ 的位置，故其必与 $C_2$ 重合．