复数的历史来历

在以前，人类的认知是只有实数的。那时用方程解决问题的思想也盛行了起来。一时间，全世界的数学家都在致力于方程的求解。

一次方程的求解，现在是小学生都会的。二次方程的求解，小学生可能不会，但是初中生很熟悉。但是三次方程的求解可就难住了一大批的数学家。这个方程时而有一个解，时而有三个解。而四次方程，五次方程等等高次方程解的分布就更加复杂了。

据说，卡尔丹诺是当时热衷于研究三次方程的数学家之一。

注. 这里使用“据说”一词，是因为现在我没有确切地文献来佐证下面的事，但在这里加入一个小故事并不影响我们这节课的核心问题，就当开胃甜点好了。

那时候的欧洲，大家都在研究三次方程的求解。二次方程的求根公式很早就被推导出来了，可是三次方程的求根公式，却始终没个着落。那时候的数学家们，彼此之间就喜欢打赌。我给你写一个方程，你解出来了我给你钱，你解不出来你给我钱。

但是过了一段时间，大家发现了一个奇怪的事儿。好像每次大家的钱都会莫名其妙地流到一个地方去。

谁呢？

冯塔纳！

冯塔纳是一个意大利的数学家，当时，他找到了解一元三次方程一般形式的求根方法。在数学对抗比赛中，冯塔纳利用自己解一元三次方程的方法，仅仅只用了两个小时的时间，就轻而易举地解出了对方的所有题目，而对方却无法解出他所给出的题目。他以30:0的大比分大胜！

但是冯塔纳一直没有公开自己的方法，卡尔达诺就非常地好奇。卡尔丹诺之前对一元三次方程求解问题，也进行过长时间的探索和研究，但一直都没有取得进展。因此，当卡尔达诺知道冯塔纳有解一元三次方程的方法之后，他就迫不及待向冯塔纳求教方法，但都被冯塔纳拒绝。

虽然卡尔达诺屡次遭到拒绝，但他极为执着，通过各种方式向冯塔纳求教方法。或许是冯塔纳过于自信，认为世间没有人能看懂他的方法，就用一种及其隐晦的语言，把解一元三次方程的解法变相告诉给了卡尔达诺，并让卡尔达诺发誓不泄露出去。

不过，冯塔纳低估了卡尔达诺在数学方面的天赋，卡尔达诺通过解一元三次方程的对比实践，很快就彻底破解了冯塔纳的秘密。

三次方程的求根公式相信大家也已经在高等代数的学习过程中见过了。但当时让他们无法理解的事情是这个公式中出现的负数开根号是什么东西。

“万能的域”——复数作为域的性质

在后续的研究中，不断地出现了根号下的负数。如四次方程的求根公式。那么，我们这种根号下的负数必然是我们在实数域下无法理解的内容了。那么我们有两条路可以选，一条路是完全放弃这种东西，认为它是“荒谬的”，“不可被理解的”，而另一条路则是，我们从实数域出发，去找一个足够“万能的域”使得这个域能够做到它将任何实数域上的代数方程，都能在这个域上找到解。

但是单单只是让实系数代数方程有解，这似乎并不是一件非常美观的事。我们希望它不能再重蹈实数域的覆辙，也即我们希望这个扩域上的多项式方程，仍然能在自己的域内找到一个解，换言之，这就引出了我们今天的核心问题