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高中数学人教版新课标A选修1-23.2复数代数形式的四则运算教学演示课件ppt
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这是一份高中数学人教版新课标A选修1-23.2复数代数形式的四则运算教学演示课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了z2·z1，z1·z2·z3，z1z2+z1z3，相反数等内容，欢迎下载使用。
主题一：复数的乘法【自主认知】1.复数范围内，平方差公式与完全平方公式是否成立？即若z1，z2∈C，是否有 =(z1+z2)(z1-z2)，(z1+z2)2=提示：成立.复数的乘法(乘方)类似于实数范围内的多项式的乘法(乘方)，只不过是在运算中遇到i2时就将其换为-1，因此在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立，即若z1，z2∈C，则有(z1+z2)2= =(z1+z2)·(z1-z2)等.
2.多个复数的乘积运算遵循怎样的运算法则？提示：多个复数的乘积运算类似多项式相乘的规律，把复数逐一相乘，再分别合并实部、虚部.3.复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？提示：三个运算律都满足.
➡根据以上探究过程，总结出复数的乘法运算法则及运算律.1.设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则(a+bi)(c+di)=_________________.2.复数的乘法满足的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有交换律：z1·z2=______.结合律：(z1·z2)·z3=____________.分配律：z1(z2+ z3)=_________.
(ac-bd)+(ad+bc)i
【合作探究】1.当x，y∈R时，若x2+y2=0，则有x=y=0，那么当x，y∈C时，该结论是否成立？提示：不成立.例如，当x=1+i，y=1-i时，x2+y2=(1+i)2+(1-i)2=0，但这时并没有x=y=0.
2.z2与|z|2有什么关系？提示：当z∈R时，z2=|z|2，当z为虚数时，z2≠|z|2，但|z|2=|z2|.(例如z=i时，z2=-1，|z|2=1，显然z2≠|z|2，但|z|2=|i2|=1.)3.in具有什么规律？提示：in具有周期性，其中周期T=4.
【拓展延伸】虚数单位i的周期性(1)i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1(n∈N).(2)in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N).n也可以推广到整数集.
4.若z，z1，z2∈C，m，n∈N，则zmzn=zm+n，(zm)n=zmn，(z1·z2)m= 成立吗？提示：成立.事实上，在复数范围内，当指数幂是整数时，以上运算性质也依然成立.
【过关小练】1.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2等于( )A.4+2i B.2+iC.2+2i D.3【解析】选A.z1·z2=(1+i)(3-i)=(3+1)+(3-1)i=4+2i.
2.计算下列各式的值：①i6= ；②i29= ；③i15= .【解析】①i6=i2=-1；②i29=i1=i；③i15=i3=-i.答案：①-1 ②i ③-i
主题二：共轭复数及复数的除法【自主认知】1.设复数z=a+bi(a，b∈R)，复数 =a-bi(a，b∈R)，则两个复数在复平面内所对应的点的位置关系如何？提示：关于实轴对称.
2.若复数z1=z2·z，则称复数z为复数z1除以z2所得的商，即z=z1÷z2.一般地，设复数z1=a+bi，z2=c+di(c+di≠0)，如何求z1÷z2？提示：
3.复数除法的实质是怎样的？提示：复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可.
➡根据以上探究过程，试着写出共轭复数的定义以及复数的除法法则.1.共轭复数(1)条件：两个复数实部_____，虚部互为_______.(2)记法：复数z的共轭复数.2.复数的除法法则(a+bi)÷(c+di)=________________(c+di≠0).
【合作探究】1.如果z∈R，那么 与z有什么关系？提示：当z∈R时， =z，即一个实数的共轭复数是它自身.
2.两个互为共轭复数的复数乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系是什么？提示：当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数.事实上，若z=a+bi(a，b∈R)，那么z· =(a+bi)·(a-bi)=a2+b2，且有z· =|z|2=| |2.
【过关小练】1.若x-2+yi和3x-i互为共轭复数，则实数x与y的值是( )A.x=3，y=3 B.x=5，y=1C.x=-1，y=-1 D.x=-1，y=1【解析】选D.由题意得
2.复数 等于( )【解析】选A. =2-i.故选A.
【归纳总结】1.对复数的乘法运算法则的两点说明(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为-1，再把实部、虚部分别合并，将最后结果进行化简.(2)对于能使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等.
2.共轭复数的性质有：
(5)对于复数z，z= ⇔z为实数.(6)设z=a+bi(a，b∈R)，则z· =a2+b2=|z|2.(7)(8)若z1与z2互为共轭复数，即 =z2，则 也互为共轭复数，即
类型一：复数的乘法与除法运算【典例1】(1)(2014·福建高考)复数(3+2i)i等于( )A.-2-3iB.-2+3i C.2-3i D.2+3i(2)(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z-1)i=1+i，则z=( )A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i(3)计算：
【解题指南】(1)利用复数的乘法运算法则进行计算.(2)利用复数的除法运算法则进行计算.(3)题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号里的，再算乘除，最后算加减.
【解析】(1)选B.(3+2i)i=3i+2i2=-2+3i.(2)选C.因为(z-1)i=1+i，所以
【规律总结】复数乘除运算的技巧(1)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算顺序一样.(2)对于复数的除法运算，要熟练掌握“分母实数化”的方法.(3)对于复数的高次乘方运算，可利用公式(zm)n=zmn进行转化运算.(4)对于复数的混合运算，仍可按照先乘方、再乘除、后加减的顺序，有括号先计算括号里面的.
【巩固训练】1.(2015·湖南高考)已知 =1+i(i为虚数单位)，则复数z=( )A.1+i B.1-iC.-1+i D.-1-i【解题指南】本题主要考查复数的加减乘除基本运算，验证即得结论.【解析】选D.验证各选项，只有z=-1-i时，
2.(2015·广东高考)已知i是虚数单位，则复数(1+i)2=( )A.-2 B.2 C.-2i D.2i【解题指南】本题考查复数的运算，可直接利用运算法则求解.【解析】选D.(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.
【补偿训练】计算：(1)(2+i)(2-i).(2)(1+2i)2.(3)
【解析】(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5.(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.(3)方法一：原式=
类型二：共轭复数及其应用【典例2】(1)复数z= 的共轭复数是( )A.2+i B.2-i C.-1+i D.-1-i(2)(2015·广东高考)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位)，则 =( )A.3-2i B.3+2i C.2+3i D.2-3i(3)(2015·潍坊高二检测)已知复数z的共轭复数是 ，且z- =-4i，z· =13，试求 .
【解题指南】(1)先利用复数的除法法则求出z的代数形式，再利用共轭复数的定义求解.(2)先求z，再求 .(3)设出复数z的代数形式，利用共轭复数的定义、复数的运算法则以及两复数相等的充要条件列方程组求解.
【解析】(1)选D.z=所以z的共轭复数为-1-i.故选D.(2)选D.因为z=i3－2i=2+3i，所以 =2－3i.(3)设z=x+yi(x，y∈R)，则由条件可得
【规律总结】共轭复数的应用(1)求一个复数的共轭复数时，必须先将这个复数化为标准的代数形式，得到其实部与虚部后再据定义求得其共轭复数.(2)进行复数除法运算时，主要采用分母实数化方法，其实质就是将分式的分子、分母同乘以分母的共轭复数，根据公式z· =|z|2=| |2进行化简并计算.
【巩固训练】1.(2015·吉林高二检测)复数 的共轭复数是( )A.2i+1 B.-1-2iC.2i-1 D.1-2i【解析】选C.因为所以复数 的共轭复数是-1+2i，故选C.
2.(2014·安徽高考)设i是虚数单位， 表示复数z的共轭复数.若z=1+i，则 =( )A.-2 B.-2i C.2 D.2i【解析】选C.因为z=1+i，所以 =1-i，故 = +i(1-i)=-i(1+i)+i(1-i)=-2i2=2.
【补偿训练】1.若1≤|z|≤2，求u= (1+i)所对应的点A的集合表示的图形，并求其面积.【解析】由u= (1+i)得：又因为|z|=| |= ，1≤|z|≤2，所以 ≤|u|≤2 ，因此动点A的图形是一个圆环.设此圆环面积为S，那么S=π[(2 )2-( )2]=6π.
2.设z1，z2∈C，A=z1· +z2· ，B=z1· +z2· ，则A与B是否可以比较大小？为什么？【解题指南】设出z1，z2的代数形式，化简A，B，判断A，B是否同为实数即可.
【解析】设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则 =a-bi， =c-di，所以A=z1· +z2·=(a+bi)(c-di)+(c+di)(a-bi)=ac-adi+bci-bdi2+ac-bci+adi-bdi2=2ac+2bd∈R，B=z1· +z2· =|z1|2+|z2|2=a2+b2+c2+d2∈R，所以A与B可以比较大小.
类型三：in的值的周期性及其应用【典例3】(1)(2015·湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数为( )A.i B.-iC.1 D.-1(2)(2015·福建高考)若集合A={i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B={1，-1}，则A∩B等于( )A.{-1} B.{1} C.{1，-1} D. (3)若复数z= ，求1+z+z2+…+z2014的值.
【解题指南】(1)复数的四则运算；共轭复数的概念.(2)利用复数的周期性及集合之间的运算求解.(3)先化简z，再利用等比数列的求和公式求解.
【解析】(1)选A.因为i607=(i2)303·i=-i，共轭复数为i，所以应选A.(2)选C.A={i，-1，-i，1}，B={1，-1}，A∩B={1，-1}.(3)因为 所以1+z+z2+…+z2014=
【规律总结】in和ωn(n∈N*)的性质1.in(n∈N*)的性质(1)对任意4个连续的正整数a，b，c，d都有ia+ib+ic+id=0.(2)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，n∈N*.(3)(1±i)2=±2i，
2.ωn(n∈N*)的性质设ω1= ω2=则ω1，ω2具有下列性质：(1)(2)1+ω1+ω2=0.(3) =ω2， =ω1.(4)ω1= ，ω2= .(5)ω1·ω2=1，ω1= ，ω2=(6)ω3n=1，ω3n+1=ω，ω3n+2=ω2.
【巩固训练】1.(2014·安徽高考)设i是虚数单位，复数等于( )A.-i B.i C.-1 D.1【解析】选D.i3+=-i+ =-i+i-i2=1，故选D.
2.(2015·长沙高二检测)i为虚数单位,则 等于 ( )A.0 B.2i C.-2i D.4i【解析】选A. =-i+i+(-i)+i=0.
3.计算：i+i2+i3+…+i2015.【解题指南】可利用in的周期性化简，或者利用等比数列求和公式化简计算.
【解析】方法一：因为i2=-1，i3=-i，i4=1，i5=i，…，所以in的值呈周期性出现，且一个周期为4.又i+i2+i3+i4=i5+i6+i7+i8=…=i2009+i2010+i2011+i2012=0，所以原式=i2013+i2014+i2015=i+i2+i3=i-1-i=-1.方法二：原式=
【补偿训练】1.计算【解析】i2 009=i4×502+1=i，( + i)8=［2(1+i)2］4=(4i)4=28=256，
2.计算i+2i2+3i3+…+2000i2000= .【解析】设S=i+2i2+3i3+…+2000i2000， ①则iS=i2+2i3+3i4+…+1999i2000+2000i2001. ②由①-②，得(1-i)S=i+i2+i3+i4+…+i2000-2000i2001= -2000i2001=-2000i，故S= =1000-1000i.答案：1000-1000i
类型四：复数的综合应用【典例4】(1)若等比数列{zn}中，z1=1，z2=a+bi，z3=b+ai(a，b∈R且a>0).则a= ，b= .(2)设z是虚数，ω=z+ 是实数，且-1<ω<2，求|z|的值及z的实部的取值范围.
【解题指南】(1)根据等比数列的性质列等式，由复数相等列方程组计算.(2)按常规解法，设z=x+yi(x，y∈R)，化简ω=z+ ，找出实部、虚部可以列出的等量关系式求解.
【解析】(1)因为z1，z2，z3成等比数列，所以 =z1z3，即(a+bi)2=b+ai.所以a2-b2+2abi=b+ai，答案：
(2)因为z是虚数，所以可设z=x+yi，x，y∈R，且y≠0.所以ω=z+ =x+yi+因为ω是实数且y≠0，所以y- =0，所以x2+y2=1，即|z|=1.此时ω=2x.因为-1<ω<2，所以-1<2x<2，从而有-
2.(改变问法)若例题(2)中条件不变，求 的最小值.【解析】设z=x+yi，x，y∈R，且y≠0.
因为-0.于是当且仅当2(x+1)= ，即x=0时等号成立.所以ω- 的最小值为1，此时z=±i.
【规律总结】复数运算的综合问题解决方法 在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x+yi(x，y∈R)的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决.提醒：复数问题实数化或根据几何意义利用数形结合法是解决复数问题的关键.
【补偿训练】1.已知复数z1=m+ni，z2=2-2i和z=x+yi，设z= i-z2，m，n，x，y∈R.若复数z1所对应的点M(m，n)在曲线y= (x+2)2+上运动，求复数z所对应的点P(x，y)的轨迹C的方程.
【解析】因为z1=m+ni，z2=2-2i，所以z= i-z2=(m-ni)i-(2-2i)=(n-2)+(m+2)i.所以x+yi=(n-2)+(m+2)i.所以x=n-2，y=m+2，即n=x+2，m=y-2.又点M(m，n)在曲线y= (x+2)2+ 上运动，代入整理，得点P(x，y)的轨迹C的方程为y2=2(x- ).
2.已知z是复数，z+2i， 均为实数，且(z+ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围.【解题指南】复数z=x+yi(x，y∈R)是实数的充要条件是y=0，点(x，y)在第一象限的充要条件是x>0且y>0，据此可建立关于实数a的不等式组，求得a的范围.
【解析】设z=x+yi(x，y∈R)，则z+2i=x+(y+2)i为实数，所以y=-2.= (2x+2)+ (x-4)i为实数，所以x=4.所以z=4-2i.因为(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i的对应点在第一象限， 解得2
主题一：复数的乘法【自主认知】1.复数范围内，平方差公式与完全平方公式是否成立？即若z1，z2∈C，是否有 =(z1+z2)(z1-z2)，(z1+z2)2=提示：成立.复数的乘法(乘方)类似于实数范围内的多项式的乘法(乘方)，只不过是在运算中遇到i2时就将其换为-1，因此在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立，即若z1，z2∈C，则有(z1+z2)2= =(z1+z2)·(z1-z2)等.
2.多个复数的乘积运算遵循怎样的运算法则？提示：多个复数的乘积运算类似多项式相乘的规律，把复数逐一相乘，再分别合并实部、虚部.3.复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？提示：三个运算律都满足.
➡根据以上探究过程，总结出复数的乘法运算法则及运算律.1.设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则(a+bi)(c+di)=_________________.2.复数的乘法满足的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有交换律：z1·z2=______.结合律：(z1·z2)·z3=____________.分配律：z1(z2+ z3)=_________.
(ac-bd)+(ad+bc)i
【合作探究】1.当x，y∈R时，若x2+y2=0，则有x=y=0，那么当x，y∈C时，该结论是否成立？提示：不成立.例如，当x=1+i，y=1-i时，x2+y2=(1+i)2+(1-i)2=0，但这时并没有x=y=0.
2.z2与|z|2有什么关系？提示：当z∈R时，z2=|z|2，当z为虚数时，z2≠|z|2，但|z|2=|z2|.(例如z=i时，z2=-1，|z|2=1，显然z2≠|z|2，但|z|2=|i2|=1.)3.in具有什么规律？提示：in具有周期性，其中周期T=4.
【拓展延伸】虚数单位i的周期性(1)i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1(n∈N).(2)in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N).n也可以推广到整数集.
4.若z，z1，z2∈C，m，n∈N，则zmzn=zm+n，(zm)n=zmn，(z1·z2)m= 成立吗？提示：成立.事实上，在复数范围内，当指数幂是整数时，以上运算性质也依然成立.
【过关小练】1.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2等于( )A.4+2i B.2+iC.2+2i D.3【解析】选A.z1·z2=(1+i)(3-i)=(3+1)+(3-1)i=4+2i.
2.计算下列各式的值：①i6= ；②i29= ；③i15= .【解析】①i6=i2=-1；②i29=i1=i；③i15=i3=-i.答案：①-1 ②i ③-i
主题二：共轭复数及复数的除法【自主认知】1.设复数z=a+bi(a，b∈R)，复数 =a-bi(a，b∈R)，则两个复数在复平面内所对应的点的位置关系如何？提示：关于实轴对称.
2.若复数z1=z2·z，则称复数z为复数z1除以z2所得的商，即z=z1÷z2.一般地，设复数z1=a+bi，z2=c+di(c+di≠0)，如何求z1÷z2？提示：
3.复数除法的实质是怎样的？提示：复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可.
➡根据以上探究过程，试着写出共轭复数的定义以及复数的除法法则.1.共轭复数(1)条件：两个复数实部_____，虚部互为_______.(2)记法：复数z的共轭复数.2.复数的除法法则(a+bi)÷(c+di)=________________(c+di≠0).
【合作探究】1.如果z∈R，那么 与z有什么关系？提示：当z∈R时， =z，即一个实数的共轭复数是它自身.
2.两个互为共轭复数的复数乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系是什么？提示：当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数.事实上，若z=a+bi(a，b∈R)，那么z· =(a+bi)·(a-bi)=a2+b2，且有z· =|z|2=| |2.
【过关小练】1.若x-2+yi和3x-i互为共轭复数，则实数x与y的值是( )A.x=3，y=3 B.x=5，y=1C.x=-1，y=-1 D.x=-1，y=1【解析】选D.由题意得
2.复数 等于( )【解析】选A. =2-i.故选A.
【归纳总结】1.对复数的乘法运算法则的两点说明(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为-1，再把实部、虚部分别合并，将最后结果进行化简.(2)对于能使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等.
2.共轭复数的性质有：
(5)对于复数z，z= ⇔z为实数.(6)设z=a+bi(a，b∈R)，则z· =a2+b2=|z|2.(7)(8)若z1与z2互为共轭复数，即 =z2，则 也互为共轭复数，即
类型一：复数的乘法与除法运算【典例1】(1)(2014·福建高考)复数(3+2i)i等于( )A.-2-3iB.-2+3i C.2-3i D.2+3i(2)(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z-1)i=1+i，则z=( )A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i(3)计算：
【解题指南】(1)利用复数的乘法运算法则进行计算.(2)利用复数的除法运算法则进行计算.(3)题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号里的，再算乘除，最后算加减.
【解析】(1)选B.(3+2i)i=3i+2i2=-2+3i.(2)选C.因为(z-1)i=1+i，所以
【规律总结】复数乘除运算的技巧(1)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算顺序一样.(2)对于复数的除法运算，要熟练掌握“分母实数化”的方法.(3)对于复数的高次乘方运算，可利用公式(zm)n=zmn进行转化运算.(4)对于复数的混合运算，仍可按照先乘方、再乘除、后加减的顺序，有括号先计算括号里面的.
【巩固训练】1.(2015·湖南高考)已知 =1+i(i为虚数单位)，则复数z=( )A.1+i B.1-iC.-1+i D.-1-i【解题指南】本题主要考查复数的加减乘除基本运算，验证即得结论.【解析】选D.验证各选项，只有z=-1-i时，
2.(2015·广东高考)已知i是虚数单位，则复数(1+i)2=( )A.-2 B.2 C.-2i D.2i【解题指南】本题考查复数的运算，可直接利用运算法则求解.【解析】选D.(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.
【补偿训练】计算：(1)(2+i)(2-i).(2)(1+2i)2.(3)
【解析】(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5.(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.(3)方法一：原式=
类型二：共轭复数及其应用【典例2】(1)复数z= 的共轭复数是( )A.2+i B.2-i C.-1+i D.-1-i(2)(2015·广东高考)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位)，则 =( )A.3-2i B.3+2i C.2+3i D.2-3i(3)(2015·潍坊高二检测)已知复数z的共轭复数是 ，且z- =-4i，z· =13，试求 .
【解题指南】(1)先利用复数的除法法则求出z的代数形式，再利用共轭复数的定义求解.(2)先求z，再求 .(3)设出复数z的代数形式，利用共轭复数的定义、复数的运算法则以及两复数相等的充要条件列方程组求解.
【解析】(1)选D.z=所以z的共轭复数为-1-i.故选D.(2)选D.因为z=i3－2i=2+3i，所以 =2－3i.(3)设z=x+yi(x，y∈R)，则由条件可得
【规律总结】共轭复数的应用(1)求一个复数的共轭复数时，必须先将这个复数化为标准的代数形式，得到其实部与虚部后再据定义求得其共轭复数.(2)进行复数除法运算时，主要采用分母实数化方法，其实质就是将分式的分子、分母同乘以分母的共轭复数，根据公式z· =|z|2=| |2进行化简并计算.
【巩固训练】1.(2015·吉林高二检测)复数 的共轭复数是( )A.2i+1 B.-1-2iC.2i-1 D.1-2i【解析】选C.因为所以复数 的共轭复数是-1+2i，故选C.
2.(2014·安徽高考)设i是虚数单位， 表示复数z的共轭复数.若z=1+i，则 =( )A.-2 B.-2i C.2 D.2i【解析】选C.因为z=1+i，所以 =1-i，故 = +i(1-i)=-i(1+i)+i(1-i)=-2i2=2.
【补偿训练】1.若1≤|z|≤2，求u= (1+i)所对应的点A的集合表示的图形，并求其面积.【解析】由u= (1+i)得：又因为|z|=| |= ，1≤|z|≤2，所以 ≤|u|≤2 ，因此动点A的图形是一个圆环.设此圆环面积为S，那么S=π[(2 )2-( )2]=6π.
2.设z1，z2∈C，A=z1· +z2· ，B=z1· +z2· ，则A与B是否可以比较大小？为什么？【解题指南】设出z1，z2的代数形式，化简A，B，判断A，B是否同为实数即可.
【解析】设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则 =a-bi， =c-di，所以A=z1· +z2·=(a+bi)(c-di)+(c+di)(a-bi)=ac-adi+bci-bdi2+ac-bci+adi-bdi2=2ac+2bd∈R，B=z1· +z2· =|z1|2+|z2|2=a2+b2+c2+d2∈R，所以A与B可以比较大小.
类型三：in的值的周期性及其应用【典例3】(1)(2015·湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数为( )A.i B.-iC.1 D.-1(2)(2015·福建高考)若集合A={i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B={1，-1}，则A∩B等于( )A.{-1} B.{1} C.{1，-1} D. (3)若复数z= ，求1+z+z2+…+z2014的值.
【解题指南】(1)复数的四则运算；共轭复数的概念.(2)利用复数的周期性及集合之间的运算求解.(3)先化简z，再利用等比数列的求和公式求解.
【解析】(1)选A.因为i607=(i2)303·i=-i，共轭复数为i，所以应选A.(2)选C.A={i，-1，-i，1}，B={1，-1}，A∩B={1，-1}.(3)因为 所以1+z+z2+…+z2014=
【规律总结】in和ωn(n∈N*)的性质1.in(n∈N*)的性质(1)对任意4个连续的正整数a，b，c，d都有ia+ib+ic+id=0.(2)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，n∈N*.(3)(1±i)2=±2i，
2.ωn(n∈N*)的性质设ω1= ω2=则ω1，ω2具有下列性质：(1)(2)1+ω1+ω2=0.(3) =ω2， =ω1.(4)ω1= ，ω2= .(5)ω1·ω2=1，ω1= ，ω2=(6)ω3n=1，ω3n+1=ω，ω3n+2=ω2.
【巩固训练】1.(2014·安徽高考)设i是虚数单位，复数等于( )A.-i B.i C.-1 D.1【解析】选D.i3+=-i+ =-i+i-i2=1，故选D.
2.(2015·长沙高二检测)i为虚数单位,则 等于 ( )A.0 B.2i C.-2i D.4i【解析】选A. =-i+i+(-i)+i=0.
3.计算：i+i2+i3+…+i2015.【解题指南】可利用in的周期性化简，或者利用等比数列求和公式化简计算.
【解析】方法一：因为i2=-1，i3=-i，i4=1，i5=i，…，所以in的值呈周期性出现，且一个周期为4.又i+i2+i3+i4=i5+i6+i7+i8=…=i2009+i2010+i2011+i2012=0，所以原式=i2013+i2014+i2015=i+i2+i3=i-1-i=-1.方法二：原式=
【补偿训练】1.计算【解析】i2 009=i4×502+1=i，( + i)8=［2(1+i)2］4=(4i)4=28=256，
2.计算i+2i2+3i3+…+2000i2000= .【解析】设S=i+2i2+3i3+…+2000i2000， ①则iS=i2+2i3+3i4+…+1999i2000+2000i2001. ②由①-②，得(1-i)S=i+i2+i3+i4+…+i2000-2000i2001= -2000i2001=-2000i，故S= =1000-1000i.答案：1000-1000i
类型四：复数的综合应用【典例4】(1)若等比数列{zn}中，z1=1，z2=a+bi，z3=b+ai(a，b∈R且a>0).则a= ，b= .(2)设z是虚数，ω=z+ 是实数，且-1<ω<2，求|z|的值及z的实部的取值范围.
【解题指南】(1)根据等比数列的性质列等式，由复数相等列方程组计算.(2)按常规解法，设z=x+yi(x，y∈R)，化简ω=z+ ，找出实部、虚部可以列出的等量关系式求解.
【解析】(1)因为z1，z2，z3成等比数列，所以 =z1z3，即(a+bi)2=b+ai.所以a2-b2+2abi=b+ai，答案：
(2)因为z是虚数，所以可设z=x+yi，x，y∈R，且y≠0.所以ω=z+ =x+yi+因为ω是实数且y≠0，所以y- =0，所以x2+y2=1，即|z|=1.此时ω=2x.因为-1<ω<2，所以-1<2x<2，从而有-
2.(改变问法)若例题(2)中条件不变，求 的最小值.【解析】设z=x+yi，x，y∈R，且y≠0.
因为-
【规律总结】复数运算的综合问题解决方法 在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x+yi(x，y∈R)的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决.提醒：复数问题实数化或根据几何意义利用数形结合法是解决复数问题的关键.
【补偿训练】1.已知复数z1=m+ni，z2=2-2i和z=x+yi，设z= i-z2，m，n，x，y∈R.若复数z1所对应的点M(m，n)在曲线y= (x+2)2+上运动，求复数z所对应的点P(x，y)的轨迹C的方程.
【解析】因为z1=m+ni，z2=2-2i，所以z= i-z2=(m-ni)i-(2-2i)=(n-2)+(m+2)i.所以x+yi=(n-2)+(m+2)i.所以x=n-2，y=m+2，即n=x+2，m=y-2.又点M(m，n)在曲线y= (x+2)2+ 上运动，代入整理，得点P(x，y)的轨迹C的方程为y2=2(x- ).
2.已知z是复数，z+2i， 均为实数，且(z+ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围.【解题指南】复数z=x+yi(x，y∈R)是实数的充要条件是y=0，点(x，y)在第一象限的充要条件是x>0且y>0，据此可建立关于实数a的不等式组，求得a的范围.
【解析】设z=x+yi(x，y∈R)，则z+2i=x+(y+2)i为实数，所以y=-2.= (2x+2)+ (x-4)i为实数，所以x=4.所以z=4-2i.因为(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i的对应点在第一象限， 解得2
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