历年中考数学“掌握特点巧用完全平方公式”

黄忠春

叫做两数和（或差）的完全平方公式。这个公式的特点是：左边为一个二项式的平方，右边为一个二次三项式，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。此公式可简单地概括为口诀：首平方，尾平方，积的2倍夹中央。在解题时，掌握完全平方公式的特点，并能熟练运用它，会收到事半功倍的效果。现举例如下：

例1. （1）已知是一个完全平方式，求单项式。

（2）已知是一个完全平方式，m是关于x的一次项，求m。

分析：因为，根据完全平方式的结构特点，b应为6y的平方，同理，所以m是首尾积的两倍。

解：（1）

（2）

点拨：本题主要是对完全平方公式结构特点的考查，其中（2）中由于1可以写成，所以一次项m只能是中间一项，如果去掉一次项这个条件，结果又如何呢？

例2. 计算

分析：如果采用多项式的乘法，此题计算会比较复杂。利用完全平方公式展开从而使计算简便。

解：原式

点拨：此题的关键在于理解完全平方公式中的a、b也可指代数式，这里把看作一个整体，利用完全平方公式展开。当然这里也可以把看作一个整体写作的形式，或者把看作一个整体写成的形式。

例3. 已知，求代数式的值。

分析：本题如果采用直接代入法计算会比较繁，根据以前我们所学，求代数式的值一般要先化简，再求值。本题的关键就在于如何利用完全平方公式进行化简，通过观察不难发现前面三项可写成，中间两项可写成，加上最后一项正好又符合完全平方公式的结构特点。

略解：原式

点拨：解决此类化简求值题，要学会逆用完全平方公式。

例4. 已知，求x、y的值。

分析：本题从表面形式看与完全平方公式无关，但仔细观察就可以发现其中含有这四项，根据完全平方公式的特点，只要在后面加上4，后面加上9，就可以构成完全平方公式，而13恰好可以拆成4和9。

解：

点拨：对于此类型的题目，要善于利用完全平方公式的结构特点进行拆项，创造条件，凑成完全平方公式。

例5. 已知：

分析：对于这种问题我们很容易想到的方法是先求出a，然后代入计算。但以我们目前的知识是没有办法求出a的。利用完全平方公式，可由式子两边平方得到，可由式子两边平方得到。

解：

点拨：完全平方公式中两数互为倒数时，两数的乘积，我们在学习中应该注意运用这一点。

例6. 已知。

分析：本题虽有两个方程，但依据我们现有的知识不能求出x、y的值，只有另辟蹊径，利用完全平方公式可以知道与之间相差。

解：

点拨：四个量中，只要已知其中的两个量，就可以求出另外的两个量，本题的实质是完全平方公式的变形。将公式进行变形可得到一些新的公式，主要有：;；，利用这些公式解有关问题能收到事半功倍之效。